Целью данной работы является статистическое исследование взаимосвязей стоимости автомобиля марки «Хонда-Сивик» с факторными признаками: пробегом и временем эксплуатации; а также, на основании исследования выявления первичных факторов, влияющих на стоимость и вывод зависимости целевого параметра(стоимости) от первичного фактора.
Для построения исходной выборки был выбран сайт www.auto.ru.
Формирование исходной выборки
Используя сайт auto.ru проводим выборочное исследование 50 автомобилей марки Хонда-Сивик.
Исследуемые признаки:
Y ‑ цена автомобиля, тыс.руб.;
Х1 ‑ время эксплуатации, лет;
Х2 ‑ пробег, тыс. км.
№ п/п
Марка
Y
Х1
Х2
1
Civic VII
379
5
121
2
Civic VII
399
4
74
3
Civic VII
429
4
88
4
Civic VII
393
3
95
5
Civic VII
397
3
60
6
Civic VII
430
3
54
7
Civic VII
459
3
46
8
Civic VIII
455
2
107
9
Civic VIII
467
2
47
10
Civic VIII
468
2
97
11
Civic VIII
552
2
60
12
Civic VIII
565
2
41
13
Civic VIII
570
2
57
14
Civic VIII
579
2
30
15
Civic VIII
597
2
150
16
Civic VIII
441
1
75
17
Civic VIII
466
1
30
18
Civic VIII
500
1
15
19
Civic VIII
524
1
26
20
Civic VIII
530
1
22
21
Civic VIII
539
1
32
22
Civic VIII
555
1
62
23
Civic VIII
560
1
14
24
Civic VIII
575
1
30
25
Civic VIII
575
1
88
26
Civic VIII
600
1
18
27
Civic VIII
600
1
18
28
Civic VIII
615
1
40
29
Civic VIII
680
1
14
30
Civic VIII
510
0
18
31
Civic VIII
533
0
0
32
Civic VIII
533
0
0
33
Civic VIII
541
0
0
34
Civic VIII
541
0
0
35
Civic VIII
561
0
0
36
Civic VIII
570
0
29
37
Civic VIII
585
0
0
38
Civic VIII
590
0
0
39
Civic VIII
606
0
0
40
Civic VIII
616
0
0
41
Civic VIII
640
0
0
42
Civic VIII
640
0
0
43
Civic VIII
640
0
0
44
Civic VIII
643
0
0
45
Civic VIII
650
0
10
46
Civic VIII
650
0
0
47
Civic VIII
661
0
0
48
Civic VIII
661
0
0
49
Civic VIII
683
0
0
50
Civic VIII
600
0
13
Статистические распределения рядов признаков-факторов и результирующего признака
Исследуем статистическое распределение признаков Х1
с помощью интервального вариационного ряда:
Интервальный ряд для Х 1
Х 1
F 1
Ср. цена тыс.руб.
0-1
21
603
1-2
14
554
2-3
8
532
3-4
4
420
4-5
2
414
5-6
1
379
Приведем графическое отображение ряда для Х1
в виде гистограммы и кумуляты:
Вычислим среднюю арифметическую, моду и медиану интервального ряда распределения для X1
. Формула для вычисления среднего арифметического:
где – средняя по ряду распределения;
– средняя по i-му интервалу;
– частота i-го интервала (число автомобилей в интервале).
Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака. Для интервального ряда мода определяется по формуле:
где – значение моды;
X0
– нижняя граница модального интервала;
h – величина модального интервала (1 год);
– частота модального интервала;
– частота интервала, предшествующая модальному;
– частота послемодального интервала.
Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Для ряда X1 наибольшее значение частоты равно 21, т.е. это будет интервал 0 лет , тогда значение моды:
Медиана – значение признака, лежащее в середине упорядоченного ряда распределения.
Номер медианы определяется по формуле:
где
n – число единиц в совокупности
т.к. медиана с дробным номером не бывает, то полученный результат указывает, что медиана находится между 25-й и 26-й величинами совокупности.
По накопленной частоте определяем, что медиана будет находиться в интервале от 1 года до 2-х лет , тогда значение медианы:
Для вычисления дисперсии воспользуемся следующей формулой:
где – дисперсия;
– среднее по i-му интервалу;
– среднее по ряду распределения;
– частота i-го интервала;
n – размер выборки (n=50).
Среднее квадратическое отклонение вычислим по следующей формуле:
где – дисперсия;
– среднее квадратическое отклонение;
Вычислим коэффициент вариации
где – коэффициент вариации;
– среднее квадратическое отклонение;
— среднее по ряду распределения.
Вычислим значения коэффициента ассиметрии:
где ;
– коэффициент ассиметрии;
– среднее квадратическое отклонение;
– среднее по i-му интервалу;
– среднее по ряду распределения;
– частота i-го интервала;
n – размер выборки (n=50).
Вычислим значения коэффициента эксцесса:
где
— коэффициент эксцесса;
– среднее квадратическое отклонение;
– среднее по i-му интервалу;
– среднее по ряду распределения;
– частота i-го интервала;
n – размер выборки (n=50).
Исследуем статистическое распределение признаков Х2
с помощью интервального вариационного ряда.
Для построения ряда распределения необходимо определить число групп и величину интервала. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса:
гдеm – число групп (всегда целое);
n – число единиц в выборке, в нашем случае n= 50.
Вычислим m:
Величину интервала определим по формуле:
где Хmax – максимальное значение признака;
Хmin — минимальное значение признака;
m – число групп.
На основании полученных данных построим интервальный ряд для Х2
:
Интервальный ряд для Х 2
Х 2
F 2
Ср. цена тыс.руб.
0 — 21
25
601
21 — 42
9
551
42 — 63
7
490
63 — 84
2
420
84 — 105
4
466
105 — 126
2
417
126 — 150
1
597
Приведем графическое отображение ряда для Х2
в виде гистограммы и кумуляты:
Вычислим среднюю арифметическую, моду и медиану интервального ряда распределения для X2
. Формула для вычисления среднего арифметического:
где – средняя по ряду распределения;
– средняя по i-му интервалу;
– частота i-го интервала (число автомобилей в интервале).
Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака. Для интервального ряда мода определяется по формуле:
где – значение моды;
– нижняя граница модального интервала;
h – величина модального интервала (1 год);
— частота модального интервала;
— частота интервала, предшествующая модальному;
— частота послемодального интервала.
Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Для ряда X1
наибольшее значение частоты равно 25, т.е. это будет интервал 0 до 21 тыс. км., тогда значение моды:
Медиана – значение признака, лежащее в середине упорядоченного ряда распределения.
Номер медианы определяется по формуле:
где
n – число единиц в совокупности
т.к. медиана с дробным номером не бывает, то полученный результат указывает, что медиана находится между 25-й и 26-й величинами совокупности.
По накопленной частоте определяем, что медиана будет находиться в интервале от 21 до 42 тыс. км., тогда значение медианы:
Для вычисления дисперсии воспользуемся следующей формулой:
где – дисперсия;
– среднее по i-му интервалу;
– среднее по ряду распределения;
– частота i-го интервала;
n – размер выборки (n=50).
Среднее квадратическое отклонение вычислим по следующей формуле:
где – дисперсия;
– среднее квадратическое отклонение;
Вычислим коэффициент вариации
где – коэффициент вариации;
– среднее квадратическое отклонение;
— среднее по ряду распределения.
Вычислим значения коэффициента ассиметрии:
где
– коэффициент ассиметрии
– среднее квадратическое отклонение;
– среднее по i-му интервалу;
– среднее по ряду распределения;
– частота i-го интервала;
n – размер выборки (n=50).
Вычислим значения коэффициента эксцесса:
где;
— коэффициент эксцесса;
– среднее квадратическое отклонение;
– среднее по i-му интервалу;
– среднее по ряду распределения;
– частота i-го интервала;
n – размер выборки (n=50).
Исследуем статистическое распределение признаков Y с помощью интервального вариационного ряда.
Величину интервала определим по формуле, используя полученное ранее значение m:
где Хmax – максимальное значение признака;
Хmin — минимальное значение признака;
m – число групп.
На основании полученных данных построим интервальный ряд для Y:
Интервальный ряд для Y
Y
Fy
Ср. цена тыс.руб.
379 — 422
4
400,5
422 — 465
5
443,5
465 — 508
4
486,5
508 — 551
8
529,5
551 — 594
12
572,5
594 — 637
7
615,5
637 — 683
10
660
Приведем графическое отображение ряда для Y в виде гистограммы и кумуляты:
Вычислим среднюю арифметическую , моду и медиану интервального ряда распределения для Y. Формула для вычисления среднего арифметического:
где – средняя по ряду распределения;
– средняя по i-му интервалу;
– частота i-го интервала (число автомобилей в интервале).
Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака. Для интервального ряда мода определяется по формуле:
где – значение моды;
Y0
– нижняя граница модального интервала;
h– величина модального интервала;
— частота модального интервала;
— частота интервала, предшествующая модальному;
— частота послемодального интервала.
Модальный интервал определяется по наибольшей частоте. Для ряда Y наибольшее значение частоты равно 12, т.е. это будет интервал 551-594, тогда значение моды:
Медиана – значение признака, лежащее в середине упорядоченного ряда распределения.
Номер медианы определяется по формуле:
где ;
n – число единиц в совокупности;
т.к. медиана с дробным номером не бывает, то полученный результат указывает, что медиана находится между 25-й и 26-й величинами совокупности.
Удельный вес единиц, входящих в интервал, в общем их числе, %
Удельный вес единиц, входящих в интервал, при нормальном распределении, %
1
2
3
4
(36,15-34,03)-(36,15+34,03)
2,12 – 70,18
24
48
68,3
(36,15-2×34,03) — (36,15+2×34,03)
-31,91 – 104,21
47
94
95,4
(36,15-3×34,03) — (36,15+3×34,03)
-65,94 – 138,24
49
98
99,7
Таким образом, сопоставляя гр.3 и гр.4 делаем вывод: распределение Х2
близко к нормальному, но не подчиняется ему.
Таким образом, проведя анализ на нормальность распределения мы можем отобрать данные не попадающие в диапазон 3х σ. Для ряда Х1
таких значений нет. Для ряда Х2
исключаем значение с пробегом 150 тыс. км.
С учетом отфильтрованных по правилу 3х сигм составим интервальные ряды для Х1
, Х2
, Y.
Вывод зависимостей результирующего-признака от факторов-признаков
Интервальный ряд для Х 1
Х 1
F 1
Ср. цена тыс.руб.
0-1
21
603
1-2
14
554
2-3
7
522
3-4
4
420
4-5
2
414
5-6
1
379
Интервальный ряд для Х 2
Х 2
F 2
Ср. цена тыс.руб.
0 — 21
25
601
21 — 42
9
551
42 — 63
7
490
63 — 84
2
420
84 — 105
4
466
105 — 126
2
417
Интервальный ряд для Y
Y
F y
Ср. цена тыс.руб.
379 — 422
4
400,5
422 — 465
5
443,5
465 — 508
4
486,5
508 — 551
8
529,5
551 — 594
12
572,5
594 — 637
6
615,5
637 — 683
10
660
Проведем аналитические группировки продаваемых автомобилей по времени эксплуатации и пробегу и определим групповые средние.
Построим график Y(X1
)
Зависимость цены от времени эксплуатации существует и носит линейный характер, чем больше время эксплуатации, тем дешевле автомобиль.
Построим график Y(X2
)
Зависимость цены от пробега существует и носит линейный характер, чем больше пробег автомобиля, тем дешевле автомобиль.
Группировка
На основанииданных статистического наблюдения выделим три типа автомобилей:
· по времени эксплуатации:
o новые автомобили от 0 до 1 года – 34 шт.
o средние автомобили от 2 до 3 лет – 13 шт.
o старые автомобили от 3 до 5 лет – 3 шт.
· по пробегу:
o новые автомобили от 0 до 50 тыс. км. – 36 шт.
o средние автомобили от 50 до 100 тыс.км. – 11 шт.
o старые автомобили от 100 до 150 тыс.км. – 3 шт.
· по цене:
o новые автомобили от 581 до 683 тыс. руб. – 19 шт.
o средние автомобили от 480 до 581 тыс. руб. – 12 шт.
o старые автомобили от 379 до 480 тыс. руб. – 12 шт.
Определение доверительного интервала
Определим доверительный интервал, в котором заключена средняя цена всех продаваемых автомобилей, с вероятностью 0,9.
При вероятности 0,9 t = 1,64
Следовательно:
Таким образом, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что средняя цена автомобиля равна:
Определим доверительный интервал, в котором заключена средняя цена всех продаваемых автомобилей, с вероятностью 0,95.
При вероятности 0,95 t = 1,96
Следовательно:
Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя цена автомобиля равна:
Определим необходимую численность выборки при определении средней цены продаваемых автомобилей, чтобы с вероятностью 0,95 предельная ошибка выборки не превышала 10 тыс.руб.
На основании выборочного наблюдения оценим степень тесноты связи и проведем оценку ее существенности:
Для определения степени тесноты парной линей зависимости используем линейный коэффициент корреляции(r) :
Для вычисления линейных коэффициентов корреляции составим вспомогательную таблицу:
5
121
379
1,6
36,15
509,8
3,4
84,85
-130,8
-444,72
-11098,4
288,49
4
74
399
1,6
36,15
509,8
2,4
37,85
-110,8
-265,92
-4193,78
90,84
4
88
429
1,6
36,15
509,8
2,4
51,85
-80,8
-193,92
-4189,48
124,44
3
95
393
1,6
36,15
509,8
1,4
58,85
-116,8
-163,52
-6873,68
82,39
3
60
397
1,6
36,15
509,8
1,4
23,85
-112,8
-157,92
-2690,28
33,39
3
54
430
1,6
36,15
509,8
1,4
17,85
-79,8
-111,72
-1424,43
24,99
3
46
459
1,6
36,15
509,8
1,4
9,85
-50,8
-71,12
-500,38
13,79
2
107
455
1,6
36,15
509,8
0,4
70,85
-54,8
-21,92
-3882,58
28,34
2
47
467
1,6
36,15
509,8
0,4
10,85
-42,8
-17,12
-464,38
4,34
2
97
468
1,6
36,15
509,8
0,4
60,85
-41,8
-16,72
-2543,53
24,34
2
60
552
1,6
36,15
509,8
0,4
23,85
42,2
16,88
1006,47
9,54
2
41
565
1,6
36,15
509,8
0,4
4,85
55,2
22,08
267,72
1,94
2
57
570
1,6
36,15
509,8
0,4
20,85
60,2
24,08
1255,17
8,34
2
30
579
1,6
36,15
509,8
0,4
-6,15
69,2
27,68
-425,58
-2,46
2
150
597
1,6
36,15
509,8
0,4
113,85
87,2
34,88
9927,72
45,54
1
75
441
1,6
36,15
509,8
-0,6
38,85
-68,8
41,28
-2672,88
-23,31
1
30
466
1,6
36,15
509,8
-0,6
-6,15
-43,8
26,28
269,37
3,69
1
15
500
1,6
36,15
509,8
-0,6
-21,15
-9,8
5,88
207,27
12,69
1
26
524
1,6
36,15
509,8
-0,6
-10,15
14,2
-8,52
-144,13
6,09
1
22
530
1,6
36,15
509,8
-0,6
-14,15
20,2
-12,12
-285,83
8,49
1
32
539
1,6
36,15
509,8
-0,6
-4,15
29,2
-17,52
-121,18
2,49
1
62
555
1,6
36,15
509,8
-0,6
25,85
45,2
-27,12
1168,42
-15,51
1
14
560
1,6
36,15
509,8
-0,6
-22,15
50,2
-30,12
-1111,93
13,29
1
30
575
1,6
36,15
509,8
-0,6
-6,15
65,2
-39,12
-400,98
3,69
1
88
575
1,6
36,15
509,8
-0,6
51,85
65,2
-39,12
3380,62
-31,11
1
18
600
1,6
36,15
509,8
-0,6
-18,15
90,2
-54,12
-1637,13
10,89
1
18
600
1,6
36,15
509,8
-0,6
-18,15
90,2
-54,12
-1637,13
10,89
1
40
615
1,6
36,15
509,8
-0,6
3,85
105,2
-63,12
405,02
-2,31
1
14
680
1,6
36,15
509,8
-0,6
-22,15
170,2
-102,12
-3769,93
13,29
0
18
510
1,6
36,15
509,8
-1,6
-18,15
0,2
-0,32
-3,63
29,04
0
0
533
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
23,2
-37,12
-838,68
57,84
0
0
533
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
23,2
-37,12
-838,68
57,84
0
0
541
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
31,2
-49,92
-1127,88
57,84
0
0
541
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
31,2
-49,92
-1127,88
57,84
0
0
561
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
51,2
-81,92
-1850,88
57,84
0
29
570
1,6
36,15
509,8
-1,6
-7,15
60,2
-96,32
-430,43
11,44
0
0
585
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
75,2
-120,32
-2718,48
57,84
0
0
590
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
80,2
-128,32
-2899,23
57,84
0
0
606
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
96,2
-153,92
-3477,63
57,84
0
0
616
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
106,2
-169,92
-3839,13
57,84
0
0
640
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
130,2
-208,32
-4706,73
57,84
0
0
640
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
130,2
-208,32
-4706,73
57,84
0
0
640
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
130,2
-208,32
-4706,73
57,84
0
0
643
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
133,2
-213,12
-4815,18
57,84
0
10
650
1,6
36,15
509,8
-1,6
-26,15
140,2
-224,32
-3666,23
41,84
0
0
650
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
140,2
-224,32
-5068,23
57,84
0
0
661
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
151,2
-241,92
-5465,88
57,84
0
0
661
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
151,2
-241,92
-5465,88
57,84
0
0
683
1,6
36,15
509,8
-1,6
-36,15
173,2
-277,12
-6261,18
57,84
0
13
600
1,6
36,15
509,8
-1,6
-23,15
90,2
-144,32
-2088,13
37,04
Итого:
-4829,8
-98283,3
1894,15
Тогда
Таким образом, значение линейного коэффициента корреляции = -0,84 свидетельствует о наличии обратной и тесной связи между временем эксплуатации и ценой автомобиля.
Таким образом, значение линейного коэффициента корреляции = -0,63 свидетельствует о наличии обратной и тесной связи между пробегом и ценой автомобиля.
Таким образом, значение линейного коэффициента корреляции = 0,89 свидетельствует о наличии прямой и тесной связи временем эксплуатации и пробегом автомобиля.
Проведем анализ матрицы парных коэффициентов корреляции:
Составим матрицу парных коэффициентов корреляции:
Y
X1
X2
Y
1
-0,84
-0,63
X1
-0,84
1
0,89
X2
-0,63
0,89
1
Так как оба условия не соблюдаются, то для составления уравнения регрессии будем использовать наиболее значимый (весомый) факторный признак, т.е. – X1 (время эксплуатации), т.к. .
Составим уравнение регрессии:
В качестве регрессионной модели выберем линейную модель, которая имеет вид:
Вычислим коэффициенты регрессионного уравнения:
Таким образом, уравнение регрессии примет вид:
Заключение
В ходе исследования были выявлены следующие характеристики взаимосвязи стоимости автомобиля с факторными признаками:
· Стоимость автомобиля линейно зависит от пробега и времени эксплуатации причем эта зависимость обратная для обоих случаев. При увеличении пробега (времени эксплуатации) стоимость автомобиля уменьшается;
· Основным фактором, влияющим на конечную стоимость, является время эксплуатации;
· Выявлена зависимость стоимости автомобиля от времени эксплуатации, которая имеет следующий вид:
Список источников
1) Сайт www.auto.ru.
2) Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 336 с: ил. ISBN 5-279-02555-0.
– средняя по ряду распределения;
– средняя по i-му интервалу;
– частота i-го интервала (число автомобилей в интервале).
– значение моды;
– частота модального интервала;
– частота интервала, предшествующая модальному;
– частота послемодального интервала.
– значение медианы;
– нижняя граница медианного интервала;
— номер медианы;
— накопленная частота интервала, предшествующая медианному;
— частота медианного интервала.
– дисперсия;
– среднее по i-му интервалу;
– среднее квадратическое отклонение;
– коэффициент вариации;
;
– коэффициент ассиметрии;
— коэффициент эксцесса;
– среднее квадратическое отклонение;
– средняя по ряду распределения;
– значение моды;
– нижняя граница модального интервала;
– значение медианы;
– дисперсия;
– среднее по i-му интервалу;
– среднее квадратическое отклонение;
– коэффициент вариации;
— среднее по ряду распределения.
– коэффициент ассиметрии
;
— коэффициент эксцесса;
– среднее квадратическое отклонение;
– средняя по ряду распределения;
– средняя по i-му интервалу;
– значение моды;
– значение медианы;
– нижняя граница медианного интервала;
– номер медианы;
— частота медианного интервала;
– дисперсия;
– среднее по i-му интервалу;
– среднее квадратическое отклонение;
– коэффициент вариации;
– среднее квадратическое отклонение;
– коэффициент ассиметрии;
;
— коэффициент эксцесса;
– среднее квадратическое отклонение;
– среднее по i-му интервалу;
– среднее по ряду распределения;
– частота i-го интервала;
.
