Реферат: Поверхні обертання Циліндричні та конічні поверхні Канонічні рівняння поверхонь другого порядку

Название: Поверхні обертання Циліндричні та конічні поверхні Канонічні рівняння поверхонь другого порядку Раздел: Рефераты по астрономии |
Пошукова робота на тему: Поверхні обертання.Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку (сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний і гіперболічний параболоїди). План
3.7. Поверхні другого порядку Розглянемо алгебраїчні поверхні другого порядку. Загальне рівняння такої поверхні має вигляд:
Опишемо важливі поверхні другого порядку. Скласти собі загальне представлення про більшість поверхонь другого порядку можна, розглянувши поверхні обертання ліній другого порядку навколо їх осей симетрії. 3.7.1. Поверхні обертання Поверхня Виберемо прямокутну (не обов’язково прямокутну) декартову систему координат Розглянемо точку перпендикулярна цій осі. Рис.3.25 Радіус кола дорівнює віддалі від лінії Точка Рівняння (3.45) є рівнянням поверхні обертання лінії 3.7.2. Конічні поверхні Розглянемо на площині
і носить назву прямого кругового конуса Стиск (або розтяг ) по осі яка називається конусом другого порядку. Рис.3.26 площинами
3.7.3. Еліпсоїд Розглянемо поверхню, утворену від обертання еліпса еліпсоїді обертання зсунемо до площини
Еліпсоїд представляє собою замкнуту поверхню з центром симетрії в початку координат. Еліпсоїд отримується із еліпсоїда обертання стиском так само, як і еліпс отримується стиском кола. Очевидно, коли всі півосі рівні, із (3.47) ми одержимо рівняння сфери
3.7.4. Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди При обертанні гіперболи
В результаті стиску цієї поверхні по осі Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда (3.48) проходять дві прямі (прямолінійні твірні)
Дійсно, перемноживши два рівняння і скоротивши на всеможливих значеннях Такі ж міркування можна провести і для сімейства прямих
Поверхня, що складається із прямих ліній, називається лінійчатою поверхнею. Рис. 3.28 Рис.3.29 Якщо обертати гіперболу
В результаті стиску цієї поверхні одержимо поверхню з рівнянням Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння вигляду (3.49), називається двопорожнинним гіперболоїдом 3.7.5. Еліптичний та гіперболічний параболоїди При обертанні параболи
Стискаючи її до площини Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння (3.50), називається еліптичним параболоїдом Поверхня, що має в деякій прямокутній декартовій системі координат рівняння називається гіперболічним Гіперболічний параболоїд будується таким чином: задаються дві параболи і одна з них переміщується так, щоби її вершина ковзала по другій, причому обидві осі парабол паралельні, параболи знаходяться у взаємно перпендикулярних площинах і їх вітки направлені в протилежні сторони. При такому переміщенні рухома парабола описує гіперболічний параболоїд. Рис.3.30 Рис.3.31 Переріз гіперболічного параболоїда площиною, що перпендикулярна осі Гіперболічний параболоїд теж є лінійчатою поверхнею. Як і однопорожнинний гіперболоїд, він має два сімейства прямолінійних твірних, рівняння яких можна записати у вигляді 1) 2) Виводяться ці рівняння аналогічно, як це було зроблено для одно порожнинного гіперболоїда. |