Реферат: Основні правила диференціювання Таблиця похідних

Поделиться:
Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

Название: Основні правила диференціювання Таблиця похідних
Раздел: Рефераты по астрономии

Пошукова робота

на тему:

Основні правила диференціювання. Таблиця похідних.

П
лан

  • Основні правила диференціювання.
  • Похідні від елементарних функцій.
  • Похідна від степеневої функції.
  • Похідна від степеневої та логарифмічної функції.
  • Похідні від тригонометричних функцій.
  • Похідні від обернених тригонометричних функцій.
  • Похідна від складної функції.

1. Правила диференціювання

Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.

10
. Похідна від аргументу
. Покладемо
, тоді
. Тому
.

Отже, якщо
, то


. (6.14)

1. Похідна від сталої функції
.

Значення цієї функції у точках
і
рівні між собою при будь-якому
. Тому приріст
, а отже й
.

Перейшовши до границі, в останній рівності при
маємо


.

Границя відношення
при
існує і дорівнює нулю. Тому існує й похідна від цієї функції в довільній точці
, яка теж дорівнює нулю, тобто


. (6.15) 3. Похідна від суми.

Теорема.
Якщо функції
в точці
мають похідні, то функція
також в цій точці має похідну і ця похідна
дорівнює


. (6.16)

Д о в е д е н н я. Надамо
деякого
. Тоді функції
матимуть прирости
, функція
— приріст
. Знайдемо відношення


.

Перейдемо в цій рівності до границі при
. Внаслідок того, що
в точці
згідно з умовою теореми мають похідну, то


,
.

Тому


Отже, в цій точці
існує похідна від функції
і вона дорівнює
.

Теорему доведено.

Наслідок
. Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують, тобто


(6.17)

4. Похідна від добутку.

Теорема
. Якщо функції
в точці
мають похідні, то в цій точці функція
також має похідну:


. (6.18)

Д о в е д е н н я. Надамо
деякого приросту
. Тоді функції
матимуть прирости
, а функція
приріст

Знайдемо відношення

Перейдемо в цій рівності до границі
. За умови теореми


а

Отже,

Теорему доведено.

Наслідок
. Постійний множник можна виносити за знак похідної, тобто, якщо
, то


(6.19)

5. Похідна від частки.

Теорема
. Якщо функції
в точці
мають похідні і
, то функція
також у точці
має похідну і похідна
дорівнює


(6.20)

Д о в е д е н н я. Надамо
приросту
. Тоді функції
матимуть відповідно прирости
, а функція
— приріст

Знайдемо відношення

За умовою теореми


а
, тому

Теорему доведено.

Наслідок
1. Якщо знаменник дробу — стала величина, то


(6.21)

Наслідок
2. Якщо чисельник дробу стала величина, то


(6.22)

6. Похідна від оберненої функції.

Теорема.
Нехай функція
задовольняє всім умовам теореми про існування оберненої функції і в точці
має похідну
. Тоді обернена до неї функція
у точці
має також похідну:
.

Д о в е д е н н я. Надамо
приросту
. Тоді функція
дістане приріст
, причому, внаслідок монотонності функції
, матимемо
, якщо
. Тоді відношення
можна записати так:
Перейдемо в цій рівності до границі при
. Внаслідок неперервності оберненої функції
, тобто

Отже, від функції
в точці
існує похідна:


(6.23)

Теорему доведено.

Якщо функція
має похідну в довільній точці і


, то формула (6.23) справджується для цих точок

або, що те саме,


(6.24)

У формулі (6.24) похідні знаходяться за різними змінними:
— похідна від
до
, а
— похідна від
до
. Тому формулу (6.24) записують


(6.25)

Нижній індекс показує, за якою змінною знаходиться похідна.

Для зручності поміняємо у формулі (6.25) місцями
і
. Остаточно матимемо таку формулу для похідної від оберненої функції:


(6.26)

2. Похідні від елементарних функцій

Похідна від степеневої функції

Випадок натурального показника.
Нехай
, де
— натуральне число. Тоді функція
визначена на всій числовій осі. Отже, візьмемо довільну точку
і надамо їй приросту
. Тоді функція
матиме приріст
:

Розкриємо
за формулою бінома Ньютона:

Знайдемо відношення

Перейшовши в цій рівності до границі при
, дістаємо

Отже похідна
від степеневої функції
з натуральним показником існує і дорівнює

Випадок довільного показника
. Нехай
є довільне дійсне число. Тоді область існування функції залежить від
.

Нехай
— область існування функції
. Візьмемо довільне
, але
(випадок
розглянемо окремо). Тоді приріст
дорівнює

Знайдемо відношення

або


(6.28)

де
.

Перейдемо до границі у рівності (6.28) при
. Зауважимо, що коли
, то й
. Тому


(6.29)

Обчислимо окремо

Для цього введемо таке позначення:

причому
, якщо
. Тоді
звідки
. Тоді

Проте внаслідок неперервності логарифмічної функції маємо

Отже,

Повертаючись до співвідношення (6.29), маємо

тобто якщо
і
, то


(6.30)

Розглянемо випадок, коли
. Якщо
, то точка
не входить в область існування функції
. Тому розглядатимемо
і
. Знайдемо приріст функції в точці
:

тоді

Звідси випливає, що у випадку
границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, існує і дорівнює нулю:

Якщо
, то границя
не існує, тобто у випадку
функція
в точці
похідної немає.

Проте, якщо формально у формулі (6.30) покласти
, то дістанемо той самий результат.

Отже, для похідної від степеневої функції ми маємо таке правило: похідна від степеневої функції дорівнює показнику, помноженому на цю функцію з показником, на одиницю меншим.

3. Похідна від показникової та логарифмічної функцій

1. Нехай маємо показникову функцію

.

Знайдемо в довільній точці
приріст
:

Тоді

Перейдемо тут до границі при
. Маємо

Таким чином, похідна від показникової функції
існує в довільній точці
і дорівнює


(6.31)

Зокрема,


(6.32)

2. Нехай маємо логарифмічну функцію
, де
. Згідно з означенням логарифмічної функції маємо таку рівність:

Оскільки
, то

Отже,


(6.33)

Зокрема,


(6.34)

4. Похідні від тригонометричних функцій

1.
. Знайдемо приріст функції
в довільній точці
:

Знайдемо відношення

Перейдемо в цій рівності до границі при
:

Отже похідна від функції
існує в довільній точці
і дорівнює


(6.35)

2.
. Аналогічно доводиться, що від функції
в довільній точці
існує похідна, яка дорівнює


(6.36)

3. Зобразимо
у вигляді

Скориставшись формулою (6.20), маємо

Отже,


(6.37)

4.
. Аналогічно можна довести, що


(6.38)

5. Похідні обернених тригонометричних функцій

1.
, де
,
.

Тоді згідно з означенням функції
маємо таку рівність:

причому похідна
при
не дорівнює нулю. Тому для знаходження похідної від
можна скористатися формулою (6.24):

Оскільки
, то
набуває тільки додатних значень. Тоді можна записати:

Отже, остаточно


(6.39)

2. Аналогічно можна вивести формули похідних



(6.40)



(6.41)

(6.42)

6. Похідна від складної функції

Функція однієї змінної.

Теорема.
Нехай маємо складну функцію

і нехай: 1) зовнішня функція
в точці
має похідну (по
)
; 2) внутрішня функція
в точці
має похідну (по
)
. Тоді складна функція
в точці
також має похідну (по
), яка дорівнює добутку похідних від зовнішньої
і внутрішньої
функції, тобто

або


(6.43)

Правило знаходження похідної від складної функції: щоб знайти похідну від складної функції, треба знайти похідну від зовнішньої функції за зовнішнім аргументом і результат помножити на похідну від внутрішньої функції за внутрішнім аргументом.

Зауваження
. Ця теорема може бути узагальнена і на той випадок, коли аргумент внутрішньої функції є, в свою чергу, функцією від іншого аргументу. Так, якщо маємо функції
і кожна з них у відповідних точках має похідні, то функція
має похідну по
, яка дорівнює

Приклади.

1. Знайти похідну від функції
.

Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення
. Тоді матимемо складну функцію
і
задовольняють умовам теореми для
. Отже,

2. Знайти похідну від функції
.

Р о з в ’ я з о к. Введемо позначення
. Тоді матимемо складну функцію
,
.

Тому

Похідна від степенево-показникової функції.

Означення
. Функція
, де
і
— функції
, називається степенево-показниковою функцією.

Степенево-показникову функцію не можна диференціювати ні за формулою похідної степеневої функції, ні за формулою показникової функції, оскільки вона не є ні тою ні другою. Одержимо окрему формулу.

Нехай дана функція
, де
. Прологарифмувавши обидві частини рівності, маємо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності по
як складні функції:

Звідси

або


(6.44)

Правило диференціювання степенево-показникової функції: щоб продиференціювати степенево-показникову функцію, достатньо знайти від неї похідну як від показникової функції (тимчасово вважаємо основу
сталою), похідну як від степеневої функції (вважаємо показник
сталим) та результати додати.

Приклади
.

1. Знайти похідну від функції
.

Р о з в ’ я з о к.

2. Знайти похідну від функції
.

Р о з в ’ я з о к.

Зауваження
. Застосований в цьому параграфі прийом для знаходження похідних, коли спочатку знаходять похідну логарифму даної функції, широко використовується при диференціюванні функцій. Цей прийом часто спрощує обчислення.

Приклад
.

Знайти похідну від функції

Р о з в ’ я з о к. Логарифмуючи, знаходимо

Диференціюємо обидві частини цієї рівності:

Звідси

Похідна від складної функції кількох змінних.

Із означення безпосередньо випливає правило знаходження частинних похідних функції
: щоб знайти частинну похідну від функції
за одним із її аргументів, потрібно обчислити похідну від функції
за цим аргументом, вважаючи інші аргументи постійними .

Приклади
.

1. Знайти частинні похідні від функції

Р о з в ’ я з о к.


2. Знайти частинні похідні від функції

Р о з в ’ я з о к.

Нехай задана функція
, аргументи якої
і
є функціями незалежної змінної
:

Нехай
має по
і
неперервні частинні похідні
і
і існують
і
. Тоді можна довести існування похідної складної функції
і одержати формулу для її обчислення:


(6.45)

Приклад
.

Знайти похідну від функції
, якщо
,
.

Р о з в ’ я з о к.

Якщо, зокрема,
,
, тобто, якщо один із аргументів функції
є незалежна змінна, а другий — його функція, то формула (6.45) (покласти в ній
) дає вираз повної похідної від функції
по
:


(6.46)

Нехай
є складною функцією не однієї, а кількох незалежних змінних
і
. Нехай
має неперервні частинні похідні по
і по
, а
і
мають частинні похідні по
. За таких умов формула диференціювання складної функції
записується так:


(6.47)


….

Приклад
.

Знайти частинні похідні від функції
, якщо
,
.

Р о з в ’ я з о к.