Реферат: Інтегрування з допомогою заміни змінної Інтегрування частинами

Пошукова робота на тему:

Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами.

П
лан

• Інтегрування частинами
• Інтегрування часток
• Заміна змінної

1
. Інтегрування частинами

Нехай
і
– диференційовані функції
на

Тоді
або

Звідси

(8.16)

Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій :

де
–поліном ,
– раціональна функція
. Описати всі можливі випадки застосування формули інтегрування частинами неможливо. Інтегруючи такі вирази, завжди виникає дилема : що взяти за
, а що – за
.
Інтегруючи вирази вигляду
,
, після того як підінтегральна функція буде розписана за властивостями 4⁰
і 5⁰
, одержимо інтеграли вигляду
, де
— одна з функцій
в яких слід за
брати
,
бо, в протилежному випадку, інтеграл ускладнюватиметься за рахунок зростання степенів
. В інтегралах
, де
— одна з функцій
вигідно за
брати
. В інших випадках вибір
здійснюється залежно від того, при якому з виборів легше знайти
за
, хоч це теж не є абсолютною істиною . Іноді доводиться експериментувати .

Інтегруючи вирази
, доцільно за
взяти
. Знаходження
із співвідношень
теж здійснюється інтегрування частинами .

Для прикладу знайдемо

Приймаючи
, а
, знайдемо

Далі матимемо
, тобто дістанемо інтеграл
.

Знову, взявши
, знайдемо
. Отже , одержимо таку систему рівнянь відносно
та
:

Звідси

Приклад 1
.

Позначивши
,

одержимо
. Звідси

. (8.17)

Остання формула є рекурентною, тобто , знаючи , що
, можна поступово знайти
, де
– ціле число,

більше за одиницю . Наприклад, при

Звідси
.

Приклад 2.

.

Нехай
Тоді

і

У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає , що інтеграл став простішим , ніж був .

Знайдемо тепер
. Маємо
.

Звідси

Отже , на основі формули (8.16) одержимо

Враховуючи значення
, знаходимо

.

Приклад 3.

Із останньої рівності одержимо

.

Обчислимо тепер

Звідси
.

Остаточно з урахуванням
, матимемо

Останній приклад показує, що часто інтегрування частинами приводить до мети скоріше в тих випадках, де, як це здавалось би, доцільніше застосувати інші методи . У цьому можна переконатися, спробувавши знайти первісну для функції
, застосувавши наприклад , заміну змінної за формулою
, про що мова буде іти пізніше.

2
. Інтегрування часток

Через те , що
то

. (8.18)

Користуючись цим , стають очевидними такі формули :

.

Нехай маємо
, причому
, де
– довільне дійсне число. Тоді

.

Розглянемо інтеграл вигляду
якщо
, то

, (8.19)

де
.

Приклади
.

1.
.

2.
.

3.
.

Через те що
, то

.

3
. Заміна змінної

Нехай потрібно обчислити інтеграл
причому безпосередньо первісну ми знайти не можемо, але відомо, що вона існує.

Зробимо заміну змінної в підінтегральному виразі

де
неперервна функція з неперервною похідною, що має обернену функцію. Тоді
і в цьому випадку має місце формула

(8.20)

Формулу (8.20) слід розуміти так, що після інтегрування в правій частині рівності замість
буде підставлено його вираз через

Щоб довести рівність (8.20), потрібно довести, що похідні за
від обох частин рівності рівні між собою:

Ми тут використали правило диференціювання оберненої функції.

Отже, похідні за
від обох частин рівності (8.20) рівні, що й треба було довести.

Функцію
потрібно вибирати так, щоби можна було обчислити інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (8.20).

Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна безпосередньо переконатися .

Не можна дати універсальних замін змінних , які зводили б заданий інтеграл до простішого. Але для ряду випадків це можна здійснити. Доцільно, наприклад, в інтегралах, що містять під знаком інтеграла вирази вигляду

застосувати відповідно такі заміни змінних:
або

або
.

За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни змінних .

Приклади
.

1.
. Підстановка
зводить інтеграл до такого :

2.
. Щоб позбутися експонент, доцільно скористатися такою заміною змінної
.Тоді
і інтеграл набере вигляду